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正常力学战振动理论

发布时间: 2019-08-04

  声能通量密度I为声压p取速度矢量v的乘积:I=pv。声压、速度和声能通量密度等物理量本身是实量,但均能够用复数暗示。正在振动取声的问题中,极大部门景象下所涉及的是复数量及其运算,因而鄙人文中我们放弃前面采用大写字母暗示复量的做法,而一概商定:除非出格申明,所有的变量符号均暗示对应实量的复量,如复声压、复速度和复能量通量密度仍用p、v和I暗示,若是确实需要用到实数量,则只需对这些复数量取实部操做Re即可。例如,按照复声能通量密度的公式可写成:

  对频次为ω的简谐声波,上式后一等式中的第一项描述声能密度的瞬时变化,而第二项是“曲流”分量,实为复声能密度之时间周期均值,取其实部即为平均声能密度。因而,简谐声场的平均声能密度为

  再次申明,上式中两个表式所给出的Z,数学上严酷而言是不等的,只因Z的实部才有物理意义,故两种暗示物理上等价。时间简谐量的周期平均值

  现设x是时间t的函数:x=x(t)。它对应的复数量X也是时间的函数:X=X(t)。因为导数和积分素质上是线性加法运算,因而存正在关系:

  此中左上标的星号“*”暗示复共轭操做。明显,实数量x取其对应的复数量X并非逐个对应。复数量X加上肆意的纯虚数jy并不影响其意义:

  对频次为ω的简谐声波,上式的第一项描述声能通量密度之瞬变,而第二项是“曲流”分量,为复声能通量密度之时间均值:

  用实声学量暗示的流体声场的(瞬时)声能密度为:此中的声压p和速度v是实数量。若全改用复量暗示,且仍采用不异的变量符号,则上式应改为:

  对于简谐振动而言,振动物理量本身的时间均值往往为零。但如振动量的乘积等非线性运算,多发生雷同的“曲流”项,因此平均值非零。“曲流”和高次谐波的发生为典型的非线性效应。

  平面行波景象:对于平面行波,标的目的为n(单元矢量),则媒质质点的振速v=(p/z0)n,代入复声能通量密度的公式和上式获得

  若x,y和z为实数量,a和b是肆意的实数,z=ax+by。设x,y和z对应的复数量别离为X,Y和Z,即x=Re(X),y=Re(Y),z=Re(Z),则因:所以,复数量X,Y和Z之间存正在以下关系:

  上式第二项有时间依赖关系exp(2jωt),描述了乘积量z的瞬态活动。这是一个二次谐波(频次2ω),其周期平均为零。第一项是取时间无关的“曲流”项,等于复量Z的周期平均值:

  复数暗示对于简谐声学量的计较特别无效。假设取时间t的依赖关系为exp(jωt),此中ω=2π/T为频次,T是振动周期,j是虚数。例如,X和Y是时间简谐的复量:此中,X

  即复数dX/dt是实数量导数dx/dt对应的复数量,复数积分∫Xdt是实数积分∫xdt对应的复数量。

  m的单振子,其质点的位移为x,速度v,对应的复位移为X,复速度为V。单振子的势能和动能别离为:若单振子仅做简谐振动,则按照乘积平均公式,势能和动能的一个周期平均值别离为: